La Sucesión de Fibonacci

En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci hace referencia a la secuencia ordenada de números descrita por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

A cada uno de los elementos de la serie se le conoce con el nombre de número de Fibonacci.

Historia

Esta sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de cría de conejos: “Cierto hombre tiene una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando, de acuerdo a su naturaleza, cada pareja necesita un mes para envejecer y cada mes posterior procrea otra pareja” (Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404).

La respuesta a esta pregunta es la que sigue:

•        Partimos de una pareja de conejos el primer mes.

•        El segundo mes la pareja envejece pero no procrea.

•        El tercer mes la pareja procrea otra pareja (es decir, ya tenemos dos parejas).

•        El cuarto mes, la primera pareja vuelve a procrear y la pareja nueva envejece sin procrear (luego tenemos tres parejas).

•        El quinto mes, las dos parejas más viejas vuelven a procrear mientras que la nueva pareja no procrea (cinco parejas en total)

•        …

Esto esquemáticamente sería:

donde:

 —–> La pareja de conejos envejece.

 —–> La pareja de conejos envejece por primera vez (es por ello por lo que no puede procrear).

 —–> Procreación de la pareja de conejos.

¿Cómo se calculan los números de Fibonacci?

Existen diferentes formas para calcular los números de Fibonacci:

1. Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

2. Función generadora: Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

 

3. Fórmula explícita: Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:

 

Los números de Fibonacci en las matemáticas

Número áureo

El número áureo, número de oro o divina proporción es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b): la longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.

Entre sus numerosas propiedades destaca una: el propio número, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales:

La razón o cociente entre un término de Fibonacci y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo:

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Esto es, cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b) n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0) o, lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal.

La construcción de dicho triángulo es la siguiente:

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Después, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En las filas inferiores, colocamos 1s en los extremos y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números inmediatamente superiores.

Este triángulo tiene varias propiedades curiosas:

1.       Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…

2.       Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…

3.       Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1s claro). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

Pero la principal curiosidad de este triángulo es la propiedad que le relaciona con los números de Fibonacci:

Ternas Pitagóricas

Una terna pitagórica consiste en una tripla (a, b, c) que cumple que a² + b² = c² (teorema de Pitágoras).

Existe una estrecha relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas, ya que, si cogemos cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, (x, y, w, z) podemos conseguir una terna pitagórica si realizamos las siguientes asignaciones:

1.       Sea ‘a’ el producto de los números que pertenecen a los extremos. a = xz.

2.       Sea ‘b’ el doble del producto de los números intermedio. b = 2yw.

3.       Sea ‘c’ la suma del producto de los números que están en posición impar y el producto de los números que están en posición par. c = xw + zy.

Entonces (a, b, c) es una terna pitagórica.